Răspuns:
a)Ultima cifră a lui 3 ridicat la putere se repetă din 4 în 4, iar cum 1981:4=495 rest 1, înseamnă că ultima cifră a lui [tex]3^{1981}[/tex] = cu ultima cifră a lui [tex]3^{1}[/tex]=3
Ultima cifră a lui 4 ridicat la orice putere se repetă din 2 în 2, iar cum 1981 este nr. impar, u.c([tex]4^{1981}[/tex])=u.c(4)=4
Ultima cifră a lui 5 la orice putere e 5
Ultima cifră a lui 6 la orice putere e 6
Din toate acestea rezultă că u.c(a)=u.c(3+4+5+6)=u.c(18)=8, astfel ultima cifră a lui a este 8, ceea ce înseamnă că a nu este pătrat perfect.
b) Ultima cifră a lui 67 la orice putere este egală cu ultima cifră a lui 7 ridicat la aceeași putere, iar puterile lui 7 se repetă din 4 în 4
38:4=9 r 2, deci u.c([tex]67^{38}[/tex])=u.c([tex]7^{38}[/tex])=u.c([tex]7^{2}[/tex])=9
Ultima cifră a lui 92 la orice putere este egală cu ultima cifră a lui 2 ridicat la aceeași putere, iar puterile lui 2 se repetă din 4 în 4.
43:4=10 r 3, deci u.c([tex]92^{43}[/tex])=u.c([tex]2^{43}[/tex])=u.c([tex]2^{3}[/tex])=8
Din toate acestea rezultă că ultima cifră a lui b este egală cu ultima cifră a sumei ( 9+8)=ultima cifră a lui 17= 7, astfel că, ultima cifră a lui b fiind 7, b nu este pătrat perfect.
c) Ultima cifră a lui 125 la orice putere este egală cu ultima cifră a lui 5 ridicat la aceeași putere, iar puterile lui 5 mereu au ultima cifră 5. Deci u.c([tex]125^{521}[/tex])=5
Ultima cifră a lui 251 la orice putere este egală cu ultima cifră a lui 1 ridicat la aceeași putere, iar puterile lui 1 mereu au ultima cifră 1. Deci u.c([tex]251^{152}[/tex])=1
Ultima cifră a lui 512 la orice putere este egală cu ultima cifră a lui 2 ridicat la aceeași putere, iar puterile lui 2 se repetă din 4 în 4.
125:4=31 r 1, deci u.c([tex]512^{125}[/tex])=u.c(2)=2
Din toate acestea rezultă că ultima cifră a lui c este egală cu ultima cifră a sumei ( 5+1+2)=8, deci c nu este pătrat perfect.
Explicație pas cu pas:
