Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) ΔABC regulat, deci AB=AO·√3, dar AO=2·OM=2·3=6cm. ⇒AB=6√3cm
Aria(ΔABC)=AB²·√3/4=6²3·√3/4=36√3/4=27√3cm².
b) d(A,(SBC))=???
BC⊥AM, BC⊥SM, ⇒BC⊥(SAM), deci distanta de la A la planul (SBC) se contine in planul (SAM) si este o inaltime din A pe SM in ΔSAM.
Trasam AN⊥SM, N∈SM. ⇒d(A,(SBC))=AN.
ΔSOM este dreptunghic egiptean, deci SO=4cm.
ΔSOM≅ΔANM (au un unghi ascutit comun). ⇒SO/AN=SM/AM, ⇒4/AN=5/9, ⇒5·AN=4·9, ⇒AN=36/5cm.
c) (SAM)∩(SAB)=SA, deci unghiul plan va fi perpendicular pe SA.
Trasam SE⊥SA si ME⊥SA. Atunci ∡((SAM),(SAB))=∡BEM.
AM⊥BC, ⇒EM⊥BC, deci ΔEBM este dreptunghic in M. Atunci tg(∡BEM)=BM/EM. BM=(1/2)·BC=3√3cm. EM=???
Aria(ΔSBC)=Aria(ΔSAB)=(1/2)·BC·SM=(1/2)·6√3·5=15√3cm².
Din ΔSMB, ⇒SB²=SM²+BM²=5²+(3√3)²=25+27=52. deci SB=√(4·13)=2√13cm=SA.
Aria(ΔSAB)=(1/2)·SA·BE, deci (1/2)·2√13·BE=15√3, ⇒BE=15√3/√13.
Din ΔBEM, ⇒EM²=BE²-BM²=(15√3/√13)²-(3√3)²=324/13. Deci EM=18/√13
Acum tg(∡BEM)=BM/EM=(3√3):(18/√13)=(3√3)·(√13/ 18)=√39/ 6.
