Cum [tex] 2x^{2}+5x+6 [/tex] si 6 sunt numere rationale => [tex]2 x^{2} +5x[/tex] este rational.
Cum [tex]3 x^{2} +4x+5[/tex] si 5 sunt numere rationale => [tex] 3x^{2}+4x[/tex] este rational.
Cum [tex]2 x^{2} +5x[/tex] si [tex]3 x^{2} +4x[/tex] sunt rationale, rezulta ca si raportul lor este rational.
[tex] \frac{ 2x^{2}+5x }{ 3x^{2} +4x} = \frac{x(2x+5)}{x(3x+4)} = \frac{2x+5}{3x+4} [/tex]∈Q.
Cum [tex] \frac{2x+5}{3x+4} [/tex]∈Q => Exista doua numere intregi p si g (prime intre ele) astfel incat [tex] \frac{2x+5}{3x+4}= \frac{p}{q}=>2xq+5q=3xp+4p=>x(2q-3p)=4p-5q. [/tex]
Acum voi demonstra ca 2q-3p≠0.
Presupunand prin absurd ca 2q=3p, ar rezulta [tex] \frac{q}{3}= \frac{p}{2} =>q=3k~si~p=2k.[/tex] (k∈Z*).
x(2q-3p)=4p-5q <=> 0=8k-15k <=> 0=-7k => k=0, ceea ce este imposibil! (ar rezulta q=0 si atunci fractia [tex] \frac{p}{q} [/tex] nu ar fi definita).
Deoarece 2q-3p≠0 si x(2q-3p)=4p-5q => [tex]x= \frac{4p-5q}{2q-3p} [/tex]∈Q. (Pentru ca atat numaratorul, cat si numitorul sunt numere intregi).
