Observam ca [tex]2013^{n} [/tex] este un multiplu de 3.
2015=671*3+2.
[tex] \sqrt{2013^{2}+2015 } = \sqrt{ M_{3}+ M_{3}+2 }= \sqrt{ M_{3}+2 } .[/tex]
Niciun patrat perfect nu poate avea forma [tex] M_{3}+2, [/tex]deci numarul din enunt este irational.
------------------------------------------
Orice numar natural ,m, are forma m=[tex] M_{3} +k[/tex], unde k reprezinta resturile obtinute prin impartirea la 3, deci k∈{0,1,2}.
[tex] m^{2} =( M_{3}+k)^{2}= M_{3} + k^{2} [/tex]
[tex]m^{2}= M_{3} +[/tex]{0;1;4}=[tex] M_{3} [/tex]+{0,1} => niciun patrat perfect nu poate fi de forma [tex] M_{3}+2. [/tex]
