Răspuns:
Explicație pas cu pas:
f(x)=x³-12x+15
a) f'(x)=(x³-12x+15)'=3x²-12=3(x²-4)=3(x²-2²)=3(x-2)(x+2)
b) f''(x)=(3x²-12)'=6x, 6x≥0 pentru x∈[0;+∞), deci f(x) este convexa pe [0;+∞), deoarece pe acest interval derivata a doua este nenegativa
c) x=-2 si x=2 sunt puncte critice, in care functia are extreme locale
pentru x<-2. f'(x)=3(x-2)(x+2)>0, deci functia este crescatoare
pentru x∈(-2;2) , f'(x)=3(x-2)(x+2)<0, deci functia este descrescatoare
pentru x>2, f'(x)=3(x-2)(x+2)>0, deci functia este crescatoare
Deci x=-2 este punct de maxim local, iar x=2 punct de minim local
fmax=f(-2)=(-2)²-12·(-2)+15=-8+24+15=31
fmin=f(2)=2³-12·2+15=8-24+15=-1
deci f(x)≤31, pentru x∈(-∞;2]
