Fie AA' perpendicular pe BC si cum ΔABC este echilateral, rezulta ca AA'este si inaltime, si mediana (si bisectoare, dar asta ne intereseaza mai putin in pb noastra). Deci BA''=A''C=5cm si calculam AD cu Teorema lui Pitagora in ΔABA":
[tex] AA''^{2} = AB^{2} - BA''^{2} [/tex]
[tex] AA''^{2} = 10^{2} - 5^{2} [/tex]=75
AA''=5[tex] \sqrt{3} [/tex] cm
Exprimam aria ΔABC in doua moduri:
Aria ΔABC=[tex] \frac{BC*AA''}{2} [/tex]
Aria ΔABC=Aria ΔMBC+Aria ΔMAC+Aria ΔMAB=
=[tex] \frac{BC*ME}{2} [/tex]+[tex] \frac{AC*MF}{2} [/tex]+[tex] \frac{AB*MD}{2} [/tex]
Deci:
[tex] \frac{10*5* \sqrt{3} }{2} [/tex]=[tex] \frac{10*ME}{2} [/tex]+[tex] \frac{10*MF}{2} [/tex]+[tex] \frac{10*MD}{2} [/tex], de unde, inmultind cu 2 si impartind la 10 ambii membri obtinem:
ME+MF+MD=5[tex] \sqrt{3} [/tex] cm
