Explicație pas cu pas:
Vedem derivata functiei f.
[tex]f'(x)=\frac{(x^2)'(x+1)-x^2(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}[/tex]
Rezolvam ecuatia f'(x)=0 pentru a gasi eventualele puncte de extrem.
O fractie este 0, cand numaratorul este 0.
[tex] x^2+2x=0\\x(x+2)=0\\x_1=0\\x+2=0=>x_2=-2 [/tex]
Facem tabel de semn:
x |-inf__________-2__________-1___________0__________inf
f' |++++++++++++++0--------------------|----------------------0+++++++++++++
f |____cresc____f(-2)_descresc_|__descresc__f(0)___cresc____
Deci, f este crescatoare pe (-inf,-2)∪(0,inf) si descrescatoare pe (-2,0)\{-1}.
Pentru b) ne intereseaza portiunea din tabel pentru care x<-1.
f(-2)=-4
Observam ca (-2,-4) este punct de maxim si atunci avem:
f(x)<f(-2)
f(x)<-4
