Explicație pas cu pas:
[tex]{\bf Notație:}[/tex] Fie [tex]A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/tex] o matrice pătrată de ordine [tex]n\in\mathbb{N},\: n\ge 2[/tex] asupra corpului [tex]\mathbb{K}[/tex] (De exemplu, [tex]\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}[/tex]). Pentru [tex]i,j\in\left\{1,...,n\right\}[/tex] fixate vom reprezenta prin [tex]A(i\mid j)[/tex] matricea pătrată de ordine [tex]n-1[/tex] asupra lui [tex]\mathbb{K}[/tex] care se obține din [tex]A[/tex] prin suprimarea rândului [tex]i[/tex] și colunei [tex]j[/tex].
[tex]{\bf Exemplu:}[/tex] Să considerăm matricea
[tex]A=\begin{bmatrix} 3&-1&2&-2\\5&4&-2&1\\0&1&\sqrt{2}&0\\3&-2&0&1\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}).[/tex]
Vom avea
[tex]A(2\mid 3)=\begin{bmatrix}3&-1&-2\\0&1&0\\3&-2&1\end{bmatrix}.[/tex]
[tex]{\bf Definiție:}[/tex] Fie [tex]A=[a_{ij}]\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}).[/tex] Determinantul lui [tex]A[/tex] este un element din [tex]\mathbb{K}[/tex] și se reprezintă prin [tex]\det A[/tex] sau, uneori prin [tex]\left|A\right|[/tex] este dată prin:
[tex]\det(A)=\begin{cases} a_{11}\quad \text{dacă } n=1\\ \sum_{k=1}^{n}{a_{1k}(-1)^{1+k}\det(A(1\mid k))}\quad \text{dacă } n>1\end{cases}[/tex]
Aceasta sugerează că determinantul se dezvoltă doar în primul rând, în mod recursiv. Proprietățile următoare sunt consecințe acestei definiții.
[tex]{\bf Proprietate:}[/tex] Dacă [tex]A=[a_{ij}]\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/tex] cu [tex]n\ge 2[/tex], vom avea, pentru fiecare [tex]i\in\left\{1,...,n\right\}:[/tex]
[tex]\det(A)=\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}(-1)^{i+k}\det(A(i\mid k))}[/tex]
[tex]\det(A)=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}(-1)^{k+i}\det(A(k\mid i))}.[/tex]
Adică, putem dezvolta în orice rând sau colună.
O altă formă de a calcula determinantul unei matrice necesită de o anumită maturitate:
[tex]{\bf Definiție}[/tex](Formula lui Leibniz): Fie [tex]A=[a_{i,j}]\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/tex] și [tex]S_n[/tex] grup simetric de ordine [tex]n[/tex]. În aceste condiții
[tex]\det(A):=\sum_{\sigma\in S_n}{\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}{a_{\sigma(i),i}}}=\sum_{\tau\in S_n}{\text{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^{n}{a_{i,\tau(i)}}}[/tex]
