Răspuns:
[tex] \begin{cases} m=\frac{1}{2}\\n=-2\\p=\frac{5}{2} \end{cases}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Teorema a lui Cayley-Hamilton ne garantează că:
[tex] p_c(A)=0_3 [/tex] unde [tex] p_c:=\det(A-xI_3). [/tex]
Deci [tex] p_c=(2-x)(1-x)^2=-x^3+4x^2-5x+2 [/tex] și de aici vom avea:
[tex] p_c(A)=-A^3+4A^2-5A+2I_3=0_3.[/tex]
[tex] 0 [/tex] nefiind valor propriu matricei [tex] A [/tex], putem conclude că această matrice este inversabilă, și ca consecință, se dă existența matricei [tex] A^{-1}. [/tex] Multiplicând de ambele părți de această matrice, și izolând matricea [tex] A^{-1}[/tex], vom obține că:
[tex] -A^2+4A-5I_3+2A^{-1}=0_3\implies A^{-1} = \frac{1}{2}A^2-2A+\frac{5}{2}I_3.[/tex]
[tex]\hfil{\boxdot} [/tex]
