a)
[tex]\it \begin{cases}\it BD\perp AC\\ \\ BD\cap AC=\{E\}\end{cases}\ \ \Rightarrow BE\perp AC \Rightarrow BE\ este\ \^ in\breve{a}l\c{\it t}ime\ pentru\ \Delta ABC[/tex]
Vom folosi reciproca teoremei înălțimii în ΔABC :
Dacă lungimea înălțimii corespunzătoare laturii AC este medie
geometrică a lungimilor proiecțiilor laturilor AB și BC pe AC,
atunci ΔABC -dreptunghic, m(∡B)=90°.
[tex]\it BE^2 = AE\cdot EC\Leftrightarrow 24^2=18\cdot32\Leftrightarrow576=576\ (A) \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow \Delta ABC-dreptunghic,\ m(\hat B)=90^o[/tex]
b)
AC = AE + EC = 18 + 32 = 50 cm
BD = BE + ED = 24 + 24 = 48cm
[tex]\it \mathcal{A}_{ABCD} =\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{50\cdot48}{2}=50\cdot24 = 1200cm^2[/tex]
d)
[tex]\it \Delta BEC-dreptunghic,\ m(\hat E)=90^o \stackrel{T.Pitagora}{\Longrightarrow}\ BC^2=BE^2+EC^2\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow BC^2=24^2+32^2=576+1024=1600 =40^2 \Rightarrow BC=40cm[/tex]
În ΔBCD avem CE - înălțime și mediană ⇒ΔBCD-isoscel,
CD = BC = 40cm
[tex]\it \mathcal{A}_{BCD}=\dfrac{BD\cdot CE}{2}=\dfrac{48\cdot32}{2}=\dfrac{1536}{2}=768\ cm^2\\ \\ \\ \mathcal{A}_{BCD} =\dfrac{BC\cdot CD\cdot sin(BCD)}{2}\Rightarrow 768=\dfrac{40\cdot40\cdot sin(BCD)}{2} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow 768=800\cdot sin(BCD) \Rightarrow sin(BCD) = \dfrac{\ 768^{(8}}{800}=\dfrac{96}{100}=0,96[/tex]
