👤
a fost răspuns

Sa se studieze existenta limitei:

[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{[x^3+3x]}{[x]^3+3[x]}[/tex]

[x] este partea intreaga a lui x
In cazul in care limita exista sa se determine valoarea sa

Răspuns :

Rayzen

x³+3x-1 < [x³+3x] ≤ x³+3x (*)

x-1 < [x] ≤ x|³ => (x-1)³ < [x]³ ≤ x³ (**)

x-1 < [x] ≤ x => 3(x-1) < 3[x] ≤ 3x (***)

Adunăm (**) cu (***):

=> (x-1)³+3(x-1) < [x]³+3[x] ≤ x³+3x (****)

Împărțim (*) la (****):

=> (x³+3x-1)/((x-1)³+3(x-1)) < [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ (x³+3x)/(x³+3x)

=> (x³+3x-1)/((x-1)³+3(x-1)) < [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ 1

Trecem la limită:

=> lim x -> ꝏ (x³+3x-1)/((x-1)³+3(x-1)) < lim x -> ꝏ [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ 1

=> 1 < lim x -> ꝏ [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ 1

Din criteriul cleștelui:

=> lim x -> ꝏ [x³+3x]/([x]^3+3[x]) = 1

Albatran

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

ptx∈N

avem lim((x³+3x)/(x³+3x))=1

fie x= n+a , a∈(0,1)

x³-1<[x³]<[x³+3x]≤x³+3x

x³-1<[x]³ <[x]³+3[x]<x³+3x

im ((x³-1)/(x³+3x)=1<limita respectiva <lim (x³+3x)/(x³-1))=1

cf.teoremei clestelui, limita este 1 si in acest caz

Alte intrebari