Răspuns:
Explicație pas cu pas:
(1).
Consideram numerele naturale distincte:
a < b < c < d < e;
[tex]a + b + c + d + 0e = 5k_1[/tex]
[tex]a + b + c + 0d + e = 5k_2[/tex]
[tex]a + b + 0c + d + e = 5k_3[/tex]
[tex]a + 0b + c + d + e = 5k_4[/tex]
[tex]0a + b + c + d + e = 5k_5[/tex]
Adunam toate ecuatiile si obtinem:
[tex]4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 5(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)\\4(a + b +c + d + e) = 5(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)[/tex]
Datorita proprietatii:
n | p*q => n | p ori n | q.
Folosim aceasta idee mai sus:
5 | 4(a + b + c + d + e) =>
5 | 4 sau 5 | a + b + c + d + e.
Prima e falsa, evident => 5 | a + b + c + d + e
(2).
Aceiasi logica ca in exercitiul anterior.
(3)
[tex]a + 0b + 0c + 0d + e = 5k_1[/tex] 1
[tex]a + 0b + 0c + d + 0e = 5k_2[/tex] 2
[tex]a + 0b + c + 0d + 0e = 5k_3[/tex] 3
[tex]a + b + 0c + 0d + 0e = 5k_4[/tex] 4
[tex]0a + b + 0c + 0d + e = 5k_5[/tex] 5
[tex]0a + b + 0c + d + 0e = 5k_6[/tex] 6
[tex]0a + b + c + 0d + 0e = 5k_7[/tex] 7
[tex]0a + 0b + c + 0d + e = 5k_8[/tex] 8
[tex]0a + 0b + c + d + 0e = 5k_9[/tex] 9
[tex]0a + 0b + 0c + d + e = 5k_{10}[/tex] 10
Adunam ecuatiile:
[tex]4(a + b + c + d + e) = 5(k_1 + k_2 + ... + k_{10})[/tex]
La fel ca in (1) :
5 | 4 sau 5 | a + b + c + d + e. (E)
A doua e corecta, insa acum vrem sa demonstram ca fiecare numar e divizibil cu 5.
Stim din primele sume ca fiecare suma a doua numere e divizibila cu 5:
a + e = 5k_1 si asa mai departe, vom folosi aceste proprietati pentru a demonstra individual ca fiecare numar e divizibil cu 5.
Din expresia E:
5 | a + b + c + d + e
1. 5 | (a + b) + (c + d) + e;
[tex]5 | 5k_4 + 5k_9 + e => 5 | e.[/tex]
2. 5 | (a + b) + d + (c + e)
[tex]5 | 5k_4 + 5k_8 + d => 5 | d[/tex]
Si tot asa pana ajungi la a, pasii se repeta, iar grupurile se schimba.
Sper ca am fost de ajutor!
