Explicație pas cu pas:
Pentru a)
Ai lungimea AB=c=2, AC=b=3. Trebuie sa afli BC=a.
Aplici teorema cosinusului:
a²=b²+c²-2bc*cosA=4+9-2*2*3*1/2=13-6=7
a=√7
Acum perimetrul este simplu:
P=a+b+c=5+√7
Pentru b)
Ai AB, AC si unghiul A. Exista o formula pentru aria care ne ajuta:
A=AB*AC*sinA/2=BC*BA*sinB/2=CA*CB*sinC/2
Aplici prima formula:
A=AB*AC*sinA/2=2*3*√3/2*1/2=6√3/4=3√3/2
Pentru c)
Aplici teorema sinusului:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
Stim a, stim sinA, stim b si aflam sinB:
√7/(√3/2)=3/sinB
√7*sinB=3√3/2
sinB=3√3/2√7 (eventual poti rationaliza pentru o forma mai frumoasa)
Pentru d)
Se aplica la fel teorema sinusului:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
Stim a, stim sin A si aflam R.
√7/(√3/2)=2R
2R*√3/2=√7
R√3=√7
R=√7/√3 (eventual cu rationalizare)
Pentru e)
Stim formula:
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
Pentru a afla cosB aplicam iar teorema cosinusului sau folosim formula fundamentala a trigonometriei (sin^2B+cos^2B=1).
Aplicam teorema cos ca e mai putin de calcul:
cosB=(a²+c²-b²)/2ac=(7+4-9)/2*2*√7=2/4√7=1/2√7
Si trebuie inlocuite valorile in formula sin(A+B).
Pentru f)
Stim formula:
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
Avem toate valorile cunoscute. Trebuie doar inlocuire numerica.
Pentru g)
Stim formula:
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
Avem toate valorile cunoscute. Trebuie doar inlocuire numerica.
Pentru h)
Stim formula:
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
Avem toate valorile cunoscute. Trebuie doar inlocuire numerica.
Pentru i)
Stim formula:
sin(2B)=2sinBcosB
Avem toate valorile cunoscute. Trebuie doar inlocuire numerica.
Pentru j):
Stim formula:
cos(2B)=cos²B-sin²B
Avem toate valorile cunoscute. Trebuie doar inlocuire numerica.
