Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a)
150 + 151 + ..... + 2013 =
→ stabilesc cati termeni are suma:
( 2013 - 150 ) + 1 = 1863 + 1 = 1 864 termeni are suma
→ aplic formula sumei lui Gauss:
= nr. termeni ×( primul termen + ultimul termen) : 2
= 1 864 × ( 150 + 2013 ) : 2 =
= 932 × 2 163 =
= 2 015 916
________________________________________
b)
2 + 4 + 6 + ...... + 2012 =
= 2 × ( 1 + 2 + 3 + ...... + 1006 ) = → l-am dat factor comun pe 2
→ pentru suma parantezei rotunde aplic formula sumei lui Gauss
= 2 × 1006 × ( 1 + 1006 ) : 2 =
= 1006 × 1007 =
= 1 013 042
__________________________________
c) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + 2013 =
→ stabilesc cati termeni are suma numerelor impare, cu primul termen 1
(2013 - 1) : 2 + 1 = 2012 : 2 + 1 = 1007 termeni are suma
→ aplic formula sumei lui Gauss:
= 1007 × ( 1 + 2013 ) : 2 =
= 1007 × 2014 : 2 =
= 1007 × 1007 =
= 1007² =
= 1 014 049
a)
150+151+...+2013=?
În această sumă termenii nu au divizori comuni .
Adăugăm numerele precedente primului termen al sumei, iar apoi le scădem, deoarece dorim să obținem rezultatul sumei 150+151+...+2013, nu rezultatul sumei 1+2+3+...+149+150+151+...2013 .
1+2+3+...+149+150+151+...+2013-(1+2+3+...+149)=
Aplicăm formula n×(n+1):2 :
2013×(2013+1):2-149×(149+1):2=
=2013×2014:2-149×150:2=
=2013×1007-149×75=
=2027091-11175=
=2015916
b)
Cred că ai vrut să scrii 2+4+6+...+2012 ....
2+4+6+...+2012=
Observăm că toți termenii acestei sume sunt divizibili cu 2 . Dăm factor comun pe 2.
2×(1+2+3+...+1006)=
=2×1006×(1006+1):2=
=1006×1007=
=1013042
c)
1+3+5+7+...+2013 =
Observăm că toți termenii acestei sume sunt impari .
Adăugăm numerele pare care lipsesc, iar apoi le scădem, deoarece dorim să obținem rezultatul sumei 1+3+5+7+...+2013, nu rezultatul sumei 1+2+3+4+5+5+7+...+2012+2013.
1+2+3+4+5+6+7+8+...+2012+2013-(2+4+6+...+2012)=
La prima sumă (1+2+3+4+...+2012+2013) aplicăm formula n×(n+1):2, iar la a doua sumă (2+4+6+..+2012), dăm factor comun pe 2.
2013×(2013+1):2-2×(1+2+3+...+1006)=
=2013×2014:2-2×1006×(1006+1):2=
=2013×1007-1006×1007=
=2027091-1013042=
=1014049