Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Cred ca cel mai rapid mod de a demonstra aceasta relatie ar fi direct prin inductie , dar o sa iti arat si alta alternativa.
Stim ca [tex]I_n=n\cdot I_{n-1}-1[/tex] , dar [tex]I_{n-1}=(n-1)I_{n-2}-1[/tex] , de unde deducem faptul ca [tex]I_n=n{[(n-1)I_{n-2}-1]}-1=n(n-1)I_{n-2}-n-1[/tex]
Continuand rationamentul deducem intr-un final faptul ca :
[tex]I_n=n(n-1)(n-2)\ldots2\cdot 1\cdot I_1-n(n-1)(n-2)\ldots\cdot 1-n(n-1)\ldots\cdot 2-\\-n(n-1)(n-2)\ldots\cdot 3-\ldots -n-1[/tex]
Suma mai poate fi scrisa:
[tex]I_n=n!I_1-n!-\dfrac{n!}{2!}-\dfrac{n!}{3!}-\ldots-\dfrac{n!}{(n-1)!}-\dfrac{n!}{n!}[/tex]
[tex]I_n=n!(I_1-1-\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2!}-\ldots-\dfrac{1}{n!})[/tex]
Ramane sa calculam I1. Cel mai rapid se calculeaza cu ajutorul integrarii prin parti.[tex]\displaystyle I_1=\int_0^1(1-x)e^xdx\\g'(x)=e^x----->g(x)=e^x\\f(x)=1-x----->f'(x)=-1\\I_1=e^x(1-x)|_0^1+\int_0^1e^xdx=e^0+e^x|^1_0=1+e-1=e[/tex]
De aici rezulta concluzia.
P.S. Din punctul meu de vedere ar fi mai bine daca ai demonstra direct relatia prin inductie, eu ti-am aratat cum s-a ajuns la ea.
