1)a) BD=DE=EC=>BC=3BD=3*6 cm=18 cm
P ABC=3l=3*18 cm=54 cm
b) ΔABC e echilateral=>A=B=C=60°
Fie DT perpendicular pe AB.
În ΔDTB: m(T)=90° și mB=60°
sin TBD=TD/BD=>TD=sin TBD*BD=√3/2*6=3√3 cm
sin TBD=sin 60°=√3/2
TD=d(D, AB)
c) Aria prin 2 moduri
Duci AP perpendicular pe DE.
AP e înălțimea triunghiului echilateral ABC
AP=h3=l√3/2=18√3/2=9√3
A DAE=b*h/2=DE*AP/2=6*9√3/2=27√3 cm^2
Sau altfel: A DAE=A ABC/3=81√3/3=27√3 cm^2
Aria prin sinus=l1*l2sin(l1*l2)/2
Adică produsul laturilor *sinusul unghiului dintre ele.
A DAE=AD*AE*sin(DAE)/2
Triunghiul DAE e isoscel
Dar nu cunoașteam AD și AE.
Anterior am construit înălțimea AP.
Aplic teorema lui Pitagora în APD să aflăm AD=>AD^2=AP^2+DP^2
DP=DE/2=6/2=3 cm
AD^2=(9√3)^2+(3)^2
AD^2=81*3+9
AD^2=243+9
AD^2=252
AD=6√7 cm și AD=AE
Acum ne întoarcem și încoluim datele în formula ariei cu sinus.
A DAE=(6√7)^2* sin(DAE)/2
Dar aria lui DAE=27√3 cm^2, am aflat-o anterior.
Înlocuim
sin(DAE)*252/2=27√3
sin(DAE)*126=27√3
sin(DAE)=27√3/126
sin(DAE)=3√3/14
√3 e aprox. egal=1,73
sin(DAE)=3*1,73/14
sin(DAE)=5,19/14
sin(DAE)=519/1400
sin(DAE)=0,3<0,4
2)
a) A ABCD=L*l=8 cm*6 cm=48 cm^2
b) Intersecția diagonalelor e AC.
NO e inclus în ACN
Diagonalele se înjumătățesc
NO||BM, NO=BM/2, linie mijlocie în ACN
=>BM||(ACN)
O dreaptă e paralelă cu un plan dacă e paralelă cu o dreaptă conținută-n plan
c) Unghiul dintre planele (ACD) și (ACN) e de 60°.
Cum aflăm care-i unghiul ăsta?
Întâi aflăm intersecția planelor.
(ACD) intersectat (ACN)=AC
Acum tre' să găsim 2 drepte din aceste 2 plane care să fie perpendiculare pe AC. Apoi aflăm unghiul plan corespunzător (unghiul diedru).
Din moment ce nu există, le construim.
Fie DT perpendicular pe AC, DT e inclus în ACD
Fie NT perpendicular pe ACN, NT inclus în ACN
Avem 3 elemente. Reiau:
Intersecția planelor: (ACD) intersectat (ACN)=AC
DT perpendicular AC, DT inclus ACD
NT perpendicular AC, NT inclus ACN
=> unghiul plan corespunzător (diedru) e NTD
La c) ni se spune că unghiul dintre aceste 2 plane, adică NTD are măsura de 60°.
Triunghiul ADC e dreptunghic. Aplic Pitagora:
AC^2=AD^2+DC^2=>AD=√(6^2+8^2)=√100=10 cm
DT e înălțime în ADC
DT=h=(c1*c2)/ip=(AD*DC)/AC=6*8/10=48/10=24/5
tgNTD=DN/DT=>DN=DT*tg NTD=24/5*√3=24√3/5
tg 60=√3
Dar DN=NM, N e mijlocul lui DM
=>DM=2DN=2*24√3/5=48√3/5 cm
