Răspuns:
x=2
Explicație pas cu pas:
log(2) din (4^x+4)=x+log(2) din (-3+2^(x+1))
Punem conditiile de existenta ce trebuie sa fie indeplinite simultan:
1) 4^x+4>0
2) x+log(2) din (-3+2^(x+1))>0
3) -3+2^(x+1)>0
Este destul de greu si ia mult timp sa rezolvam aceste condtii.
De aceea, vom rezolva intai ecuatia si vom verifica solutia/solutiile obtinute in ecuatia initiala.
log(2) din (4^x+4)=x+log(2) din (-3+2^(x+1))
Stim ca log(a) din b^c=c*log(a) din b si ca log(a) din a=1.
Vom scrie x ca: x=log(2) din 2^x.
log(2) din (4^x+4)=log(2) din 2^x+log(2) din (-3+2^(x+1))
Stim ca log(a) din b+log(a) din c=log(a) din bc.
log(2) din (4^x+4)=log(2) din 2^x*(-3+2^(x+1))
Functia logaritm este injectiva.
4^x+4=2^x*(-3+2^(x+1))
Pe 4^x il scriem ca: 4^x=(2^2)^x=2^2x pentru ca: (a^b)^c=a^bc.
Pe 2^(x+1) il scriem ca: 2^(x+1)=2^x*2 pentru ca a^(b+c)=a^b*a^c.
2^2x+4=2^x *(-3+2^x*2)
Desfacem paranteza:
2^2x+4=-3*2^x+2*2^x*2^x
Stim ca a^b*a^c=a^(b+c):
2^2x+4=-3*2^x+2*2^2x
Si rezolvam ecuatia:
2^2x-2*2^2x+3*2^x+4=0
-2^2x+3*2^x+4=0
Notam 2^x=t. Deci, 2^2x=t^2.
-t^2+3t+4=0
t^2-3t-4=0
t^2+t-4t-4=0
t(t+1)-4(t+1)=0
(t+1)(t-4)=0
Un produs este 0 daca macar un factor este 0.
t+1=0 => t=-1
t-4=0 => t=4
Revenim la notatia cu x si avem doua cazuri.
Cazul 1:
2^x=4
2^x=2^2
Functia exponentiala este injectiva.
x=2
Cazul 2:
2^x=-1
Functia exponentiala ia doar valori pozitive. Deci, ecuatia nu are solutii.
Si trebuie sa verificam daca x=2 este solutie.
Inlocuim x=2 in ecuatia initiala.
log(2) din (4^2+4)=2+log(2) din (-3+2^(2+1))
log(2) din 20=2+log(2) din 5
log(2) din (4*5)=2+log(2) din 5
Stim ca: log(a) din (b*c)=log(a) din b+log(a) din c.
log(2) din 4+log(2) din 5=2+log(2) din 5
Dar, log(2) din 4=log(2) din 2^2=2*log(2) din 2=2 (folosind proprietatile log).
2+log(2) din 5=2+log(2) din 5
Am dovedit ca x=2 este solutie.
