Răspuns
0 si 2020
505 si 505
Explicație pas cu pas:
Ridicam la patrat egalitatea:
x + 2*[tex]\sqrt{xy}[/tex] + y = 2020
2020 este numar natural
x + y este numar natural
Rezulta ca 2 * [tex]\sqrt{xy}[/tex] este numar natural
Rezulta ca [tex]\sqrt{xy}[/tex] este numar natural.
Deci xy este patrat perfect.
Ca xy sa fie patrat perfect trebuie ca x si y sa fie de forma:
x = a * [tex]b^{2}[/tex]
y = a * [tex]c^{2}[/tex]
Inlocuim in egalitatea initiala pe x si pe y:
[tex]\sqrt{a * b^{2}[/tex] + [tex]\sqrt{a * c^{2}[/tex]=[tex]\sqrt{2020}[/tex]
b * [tex]\sqrt{a}[/tex] + c * [tex]\sqrt{a}[/tex]=2 * [tex]\sqrt{505}[/tex]
(b+c) * [tex]\sqrt{a}[/tex] = 2 * [tex]\sqrt{505}[/tex]
Rezulta a=505 si conditia a+b=2.
Deci sunt doar doua posibilitati:
a=1 si b=1
sau
a=0 si b=2
Inlocuim in formulele
x = a * [tex]b^{2}[/tex]
y = a * [tex]c^{2}[/tex]
Rezulta:
x=505 si b=505
sau
x=0 si b=2020.
