Răspuns
Restul este 2.
Explicație pas cu pas:
Restul impartirii la 5 se poate afla in functie de ultima cifra a numarului, pe care o vom afla mai departe.
Puterile lui 2 au ultima cifra 2, 4, 8, 6 si iarasi 2, 4, 8, 6, deci cu o periodicitate de 4:
[tex]2^{1}[/tex]=2
[tex]2^{2}[/tex]=4
[tex]2^{3}[/tex]=8
[tex]2^{4}[/tex]=16
[tex]2^{5}[/tex]=32
[tex]2^{6}[/tex]=64
...
Observam ca:
[tex]2^{4x}[/tex] are ultima cifra 6
[tex]2^{4x+1}[/tex] are ultima cifra 2
[tex]2^{4x+2}[/tex] are ultima cifra 4
[tex]2^{4x+3}[/tex] are ultima cifra 8
51 este de forma 4x+3 deci [tex]2^{51}[/tex] are ultima cifra 8.
Puterile lui 3 au ultima cifra 1, 3, 9, 7 si iarasi 1, 3, 9, 7, deci cu o periodicitate de 4:
[tex]3^{0}[/tex]=1
[tex]3^{1}[/tex]=3
[tex]3^{2}[/tex]=9
[tex]3^{3}[/tex]=27
[tex]3^{4}[/tex]=81
...
Observam ca:
[tex]3^{4x}[/tex] are ultima cifra 1
[tex]3^{4x+1}[/tex] are ultima cifra 3
[tex]3^{4x+2}[/tex] are ultima cifra 9
[tex]3^{4x+3}[/tex] are ultima cifra 7
44 este de forma 4x deci [tex]3^{44}[/tex] are ultima cifra 1.
Numarul N=2^51—3^44+8 va fi de forma:
N=xxxxxxxx8+yyyyyyyy1+8 (conteaza doar ultima cifra a fiecarui termen al adunarii).
Deci ultima cifra va fi 7 (8+1+8=17).
In concluzie restul impartirii lui N la 5 va fi 2.
