Folosim reducerea la absurd. Presupunem ca aceasta suma este rationala, deci se poate scrie ca un raport a doua numere rationale:
P.p rad(5) + rad(6) apartine lui Q =>
[tex] \sqrt{5} + \sqrt{6} = \frac{x}{y} [/tex]
, unde x,y apartin lui Q, y diferit de 0 si x si y prime intre ele (fractie ireductibila)
Rescriem ecuatia:
[tex] \sqrt{5} = \frac{x}{y} - \sqrt{6} [/tex]
Ridicam totul la patrat:
[tex]5 = \frac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } - 2 \frac{x}{y} \sqrt{6} + 6[/tex]
Cu atentie marita trecem 5 in dreapta si radical din 6 in stanga:
[tex] - 2 \frac{x}{y} \sqrt{6} = \frac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } + 1 \\ \frac{ - 2x}{y} \sqrt{6} = \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {y}^{2} } \\ - 2x \sqrt{6} = {x}^{2} + {y}^{2} \\ \sqrt{6} = - \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{2x} [/tex]
Dar x,y erau rationale, deci asta inseamna ca si radical din 6 este rational, ceea ce este fals... De unde contradictie, ipoteza noastra este falsa
Rad(5) + rad(6) este irational
