Răspuns
(10^6 - 10^3 + 1) (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc), adica b).
Daca ai intrebari, nu ezita sa mi le pui!!!
Explicație pas cu pas:
Scriem determinantul pe linii
100a+10b+c 100b+10c+a 100c+10a+b
100c+10a+b 100a+10b+c 100b+10c+a
100b+10c+a 100c+10a+b 100a+10b+c
si-l descompunem in trei determinanti:
100a 100b 100c
100c 100a 100b
100b 100c 100a
+
10b 10c 10a
10a 10b 10c
10c 10a 10b
+
c a b
b c a
a b c.
Extragem factorii comuni din fiecare:
100^3 = 10^6 ori
a b c
c a b
b c a
+ 10^3 ori
b c a
a b c
c a b
+
c a b
b c a
a b c
=
10^6 ori
a b c
c a b
b c a
si acum, stiindu-se ca dacă într-un determinant schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem un determinant care are valoarea egala cu opusul determinantului iniţial, obtinem:
- 10^3
a b c
c a b
b c a(am schimbat intre ele col. 3 cu col, 1, de acolo am primit semnul minus)
+
a b c
c a b
b c a
(am schimbat col 2 cu 1 si apoi col 3 cu col 2, deci dubla schimbare care-mi lasa semnul + neschimbat.
Mai avem de calculat acum determinatul
a b c
c a b
b c a
= (dezvoltam dupa o linie, sau daca vrei regula lui Sarus sau a triunghiului. Eu prefer dezvoltarea dupa elementelor unei linii, fie ea prima linie)
= a(a^2 -bc) - b(ac-b^2) + c(c^2-ab) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.
Concluzionand, avem: (10^6 - 10^3 + 1) (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc), adica raspuns CORECT este b).
Raspuns final si IREVOCABIL: (10^6 - 10^3 + 1) (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc), adica b).
Frumoasa problema.
