Răspuns
Explicație pas cu pas:
a) fie VO⊥(ABC), O-centrul cercului circumscris, ∩ medianelor, inaltimilor, al bisectoarelor.
daca m-mijlocul AB => OM⊥AB, OM-apotema bazei, iar VM-apotema piramidei, CM-inaltime in Δ echilateral de latura a => CM=a√3/2; dar om =1/3din MC=a√3/6
Daca M-mijlocul AB, VM-inaltimea fetei laterale pt ca in Δ echilateral inaltimea cade pe mijlocul laturii;
=> VM inaltime in Δ echilateral de la tura a => VM=a√3/2
Daca VO⊥(ABC) => VO⊥OM
In ΔVMO-aplic T. Pitagora pt. cateta VO
=> VO²=VM²-MO²=(a√3/2)²-(a√3/6)²=3a²/4-3a²/36=24a²/36 => VO=a√6/3.
b) Fie MQ⊥VC => d(M, VC)=MQ, unde MQ-inaltime in ΔVMQ
VM≡MC=a√3/2 (sunt inaltimi in Δ echilatera de latura a)
=> ΔVMQ-isoscel => MQ-mediana, => Q-mijlocul lui VC => QV=QC=a/2.
In ΔVMQ -aplic T. Pitagora pt. cateta MQ
=> MQ²=VM²-VQ²=(a√3/2)²-(a/2)²=3a²/4-a²/4=a²/2
=> MQ=a√2/2
