Salut,
Suma din enunț este a unei progresii geometrice. Formula generală a sumei pentru o progresie geometrică este:
[tex]S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}.[/tex]
b₁ este primul termen ai sumei, în acest caz b₁ = 1.
n este numărul de termeni.
Dacă observăm numitorul fiecărei fracții din enunț, avem că numitorul este o putere a lui 3, adică primul numitor este 3⁰ = 1, al doilea este 3¹ = 3, al treilea este 3² = 9 și așa mai departe, ultimul termen este 729 = 3⁶.
Deci puterile lui 3 de la numitor sunt 0, 1, 2, 3, ..., 6, deci suma are 1 + 6 = 7 termeni, deci n = 7.
q este rația progresiei aritmetice, se vede clar că rația este q = 1/3 (1 supra 3).
Avem deci tot ce ne trebuie, pentru a calcula suma din enunț.
Observație super importantă: cum rația q = 1/3 < 1, formula corectă care se aplică în aces caz (formula este echivalentă cu cea scrisă mai sus) este:
[tex]S_n=b_1\dfrac{1-q^n}{1-q}.\\\\\\S_7=1\dfrac{1-\left(\dfrac{1}3\right)^7}{1-\dfrac{1}3}=\dfrac{\dfrac{3^7-1}{3^7}}{\dfrac{2}3}=\dfrac{3^7-1}{3^7}\cdot\dfrac{3}2=\dfrac{3^7-1}{2\cdot 3^6}.[/tex]
Green eyes.
