126. a)
[tex]a=2^3*2^6*2^9*...*2^{300}=2^{3+6+9+...+300}=2^{3*(1+2+3+...+100)}=2^{3*100*101:2}=2^{1010*15}=2^{15150}[/tex]
Pentru ca:
[tex]u(2^1)=2[/tex] -pentru restul 1
[tex]u(2^2)=4[/tex] -pentru restul 2
[tex]u(2^3)=8[/tex] -pentru restul 3
[tex]u(2^4)=6[/tex] -pentru restul 0
[tex]u(2^5)=2[/tex]
Vom imparti 15150 la 4 (atatea resturi distincte a creat ultima cifra a lui 2) pentru a vedea care este ultima cifra a lui 2 pentru acea putere.
15150:4=3787 rest 2
Asadar, [tex]u(2^{15150})=4[/tex]
b)
[tex]b=2^4*3^{1008}+(3^4)^{302}:9^{100}-2^3*9^{504}=2^4*3^{1008}+3^{1208}:(3^2)^{100}- 2^3*(3^2)^{504}=2^4*3^{1008}+3^{1208}:3^{200}-2^3*3^{1008}=2^4*3^{1008}+ 3^{1008}-2^3*3^{1008}=3^{1008}*(2^4+1-2^3)=3^{1008}*(16+1-8)=3^{1008}*9= 3^{1008}*3^2=3^{1010}[/tex]
[tex]a=2^{15150}[/tex]
Propozitia [tex]a=b^{10}[/tex] devine:
[tex]2^{15150}=(3^{1010})^{10}[/tex]
[tex]2^{15*1010}=(3^{10})^{1010}[/tex]
[tex](2^{15})^{1010}=(3^{10})^{1010}[/tex]
[tex](2^{3})^{5*1010}=(3^{2})^{5*1010}[/tex] (Fals)
Deoarece: [tex]2^3<3^2[/tex]
129.
[tex]A=2^1+2^2+2^3+...+2^{1996} /*2[/tex]
[tex]2*A=2^2+2^3+2^4+...+2^{1997}[/tex]
Scazand cele doua ecuatii, vom obtine:
[tex]A=2^{1997}-2^1[/tex]
Pentru ca:
[tex]u(2^1)=2[/tex] -pentru restul 1
[tex]u(2^2)=4[/tex] -pentru restul 2
[tex]u(2^3)=8[/tex] -pentru restul 3
[tex]u(2^4)=6[/tex] -pentru restul 0
[tex]u(2^5)=2[/tex]
Vom imparti 1997 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarul 2 la puterea 1997.
1997:4=499 rest 1
Asadar, [tex]u(2^{1997})=2[/tex]
Rezulta, [tex]u(2^{1997}-2^1)=0[/tex]
130.
[tex]A=3^{1995}-2*3^{1994}-2*3^{1993}-...-2*3^{1197}=3^{1994}*(3-2)-2*3^{1993}-...-2*3^{1197} =3^{1994}-2*3^{1993}-...-2*3^{1197}=3^{1993}*(3-2)-...-2*3^{1197}=.......=3^{1197}^(3-2)= 3^{1197}[/tex]
Pentru ca:
[tex]u(3^1)=3[/tex] -pentru restul 1
[tex]u(3^2)=9[/tex] -pentru restul 2
[tex]u(3^3)=7[/tex] -pentru restul 3
[tex]u(3^4)=1[/tex] -pentru restul 0
[tex]u(3^5)=3[/tex]
Vom imparti 1197 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarul 3 la puterea 1197.
1197:4=299 rest 1
Asadar, [tex]u(3^{1197})=3[/tex]
[tex]B=1+2^1+2^2+...+2^{1994} /*2[/tex]
[tex]2*B=2+2^2+2^3+...+2^{1995}[/tex]
Scazand cele doua ecuatii, vom obtine:
[tex]B=2^{1995}-1[/tex]
Pentru ca:
[tex]u(2^1)=2[/tex] -pentru restul 1
[tex]u(2^2)=4[/tex] -pentru restul 2
[tex]u(2^3)=8[/tex] -pentru restul 3
[tex]u(2^4)=6[/tex] -pentru restul 0
[tex]u(2^5)=2[/tex]
Vom imparti 1995 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarul 2 la puterea 1995.
1995:4=498 rest 3
Asadar, [tex]u(2^{1995})=8[/tex]
Rezulta, [tex]u(2^{1995}-1)=7[/tex]
Comaram A si B:
[tex]A=3^{1197}=3^{3*399}=(3^3)^{399}=27^{399}[/tex]
[tex]B=2^{1995}-1=2^{5*399}-1=(2^5)^{399}-1=32^{399}-1[/tex]
Rezulta, A<B