Fie M- mijlocul lui [CD] si N- mijlocul lui [AD].
Deoarece G1 este centru de greutate in ΔABC => [tex] \frac{B G_{1} }{ G_{1}M } = 2[/tex]........(1)
G2-centru de greutate in ΔDAC => [tex] \frac{A G_{2} }{ G_{2}M } [/tex].......(2)
Din (1) si (2) => [tex] \frac{B G_{1} }{ G_{1}M } = \frac{A G_{2} }{ G_{2}M } => G_{1} G_{2} || AB [/tex] (Teorema reciproca a lui Thales)
G3 este centru de greutate in ΔABD => [tex] \frac{B G_{3} }{G_{3}N } =2[/tex] (3).
G2 este centru de greutate in ΔDAC => [tex] \frac{C G_{2} }{G_{2}N } =2[/tex] (4).
Din (3) si (4) =>[tex] \frac{B G_{3} }{ G_{3}N }= \frac{C G_{2} }{ G_{2}N } => G_{2} G_{3} || BC [/tex] (Teorema reciproca a lui Thales)
Cum G1G2 || AB si G2G3 || BC => (G1G2G3) || (ABC).
2 triunghiuri care au laturile respectiv paralele sunt asemenea, deci ΔG1G2G3 ~ ΔABC.
Raportul ariilor a doua triunghiuri asemenea este egal cu patratul raportului de asemanare.
[tex] \frac{ A_{ G_{1} G_{2} G_{3} } }{ A_{ABC} } = (\frac{ G_{1} G_{2} }{AB}) ^{2} [/tex]
G1G2 || AB => ΔABM ~ ΔG2G1M => [tex] \frac{ G_{1}G_{2} }{AB}= \frac{ G_{1}M }{BM} = \frac{1}{3} [/tex]
Deci raportul ariilor celor doua triunghiuri este [tex]( \frac{1}{3}) ^{2}= \frac{1}{9} [/tex].
Uite si desenul:
