a. Fie n partea intreaga a lui n. Avem
[x]=n <=> n <= x < n+1 .
In primul caz consideram ca x se afla in prima jumatate a intervalului
n <= x < 2n+1 /2 <=> n+1/2 <= x+1/2 < n+1 <=> [x+1/2]=n => [x] +[x+1/2]=n+n=2n .
Mai avem
n <=x < 2n+1 /2 <=> 2n <= 2x < 2n+1 ,deci [2x]=2n => [x] +[x+1/2]=[2x] .
In al doilea caz consideram ca x se afla in a doua jumatate a intervalului ,deci
2n+1 /2 <= x < n+1 <=> n+1 <= x+1/2 < n+3/2 <=> [x+1/2]=n+1 => [x] +[x+1/2]=2n+1 .
Mai departe
2n+1 /2 <= x < n+1 <=> 2n+1 <= 2x < 2n+2 ,deci [2x]=2n+1 ,de unde in final avem
[x] +[x+1/2]=[2x] .
b. [x] +[x+3/8]=[2x] ,pentru orice x∈R . Avem urmatoarele variante
i. x este intreg <=> x+x+[3/8]=2x <=> 2x=2x ,care este adevarat pentru orice x∈Z .
ii. x∈(0,1/2) <=> [x] +[x+3/8]=[2x] <=> 0+0=0 ,care este adevarat .
iii. x∈[1/2,5/8) <=> [x] +[x+3/8]=[2x] <=> 0+0=1 ,contradictie .
iv. x∈[5/8,1) <=> [x] +[x+3/8]=[2x] <=> 0+1=1 ,care este adevarat .
v. x∈[1,+∞)\Z => nu avem solutii ,analog pentru x∈(-∞,0]\Z ,nu avem solutii .
Asadar S=Z ∪ (0,1/2) ∪ (5/8,1) .
