Fie triunghiul echilateral ABC și M un punct nesituat în planul (ABC),
astfel încât MB = MC = 6√3cm, MA= 6cm și MD = 6√2cm, unde D ∈ (BC),
astfel încât [BD] ≡ [DC].
Stabiliți natura triunghiului MAD și calculați aria acestuia.
R:
MB = MC ⇒ Δ MBC -isoscel (1)
[BD] ≡ [DC] ⇒ MD - mediană (2)
Din relațiile (1), (2) ⇒ MD - înălțime ⇒MD⊥BC.
Cu teorema lui Pitagora în ΔMDC ⇒ DC = 6cm
BC = 2·DC = 2·6 = 12cm
ABC - echilateral ⇒ AB = BC = 12cm.
AD - mediană în triunghi echilateral ⇒ AD - înălțime ⇒ AD⊥BC.
Cu teorema lui Pitagora în ΔDAB ⇒ AD = 6√3cm
Tiunghiul MAD are laturile MA = 6cm, MD = 6√2cm, AD = 6√3 cm.
Se observă că ΔMAD ≡ ΔDCM (cazul L L L ), iar ΔDCM este dreptunghic în D,
deci ΔMAD este dreptunghic în M.
[tex]\it \mathcal{A}_{MAD} = \dfrac{c_1\cdot c_2}{2} = \dfrac{MA\cdot MD}{2} =\dfrac{6\cdot6\sqrt2}{2} =3\cdot6\sqrt2 =18\sqrt2\ cm^2[/tex]
