a) A= 13+ 13²+ 13³+ ... + 13²⁰¹⁶
13 =13 ultima cifra este 3
13² = 169 ultima cifra este 9
13³ = 2197 ultima cifra este 7
13⁴ = 28561 ultima cifra este 1
13⁵ = 371293 ultima cifra este 3
13⁶ = 4826809 ultima cifra este 9
13⁷ = 62748517 ultima cifra este 7
13⁸ = 81`5730721 ultima cifra este 1
......................................
deci se observa ca se repeta din 4 in 4 (3 , 9 , 7 ,1)
2016 ; 4 = 504 fara rest
deoarece este fara rest, insemna ca ultima cifra este 3
daca aveam rest 1 atunci ultima cifra era: 9
daca aveam rest 2 atunci ultima cifra era: 7
daca aveam rest 3 atunci ultima cifra era: 1
b)
A= 13+ 13²+ 13³+ ... + 13²⁰¹⁶
se grupeaza termenii cate 2, apoi se scoate factor comun
13 + 13² = 13× ( 1 +13) = 13 × 14
13³ + 13⁴ = 13³ × ( 1 + 13) = 13³ × 14
13⁵ + 13⁶ = 13⁵ × ( 1 + 13) = 13⁵ × 14
...............................................................
13²⁰¹⁵ + 13²⁰¹⁶ = 13²⁰¹⁵ × ( 1 + 13) = 13²⁰¹⁵ × 14
apoi se aduna
13 × 14 + 13³ × 14 + 13⁵ × 14 +............+ 13²⁰¹⁵ × 14 =
se da factor comun 14
14 × ( 13 + 13³ + ..................+13²⁸¹⁵) deci
A = 13+ 13²+ 13³+ ... + 13²⁰¹⁶ = 14 × ( 13 + 13³ + ..................+13²⁸¹⁵) care este vizibil divizibil cu 14