2)
[tex] \it a_1+a_2+a_3+\ ...\ +a_n=1 \Rightarrow a_2+a_3+\ ...\ +a_n = 1 - a_1 [/tex]
Astfel, primul termen din membrul stâng devine [tex] \it \sqrt{\dfrac{1-a_1}{a_1}} [/tex]
Dacă înmulțim paranteza din membrul drept cu 1/2, primul termen devine
[tex] \it \dfrac{1}{2a_1} [/tex].
Vom arăta că:
[tex] \it \sqrt{\dfrac{1-a_1}{a_1}} < \dfrac{1}{2a_1} [/tex]
Ridicăm la putere a 2-a ambii membri ai inegalității și obținem:
[tex] \it \dfrac{1-a_1}{a_1} <\dfrac{1}{4a_1^2}|_{\cdot a_1} \Leftrightarrow 1-a_1<\dfrac{1}{4a_1} \Leftrightarrow 4a_1-4a_1^2<1 \Leftrightarrow 0<4a_1^2-4a_1+1\Leftrightarrow\\ \\ \\ \Leftrightarrow 0<(2a_1-1)^2 \Leftrightarrow (2a_1-1)^2>0 \ (Adev\breve{a}rat) [/tex]
Prin analogie, se poate afirma că fiecare termen din membrul stâng este
mai mic decât termenul corespunzător din membrul drept. Deci, inegalitatea din enunț este adevărată.
