[tex] \it DC = 3AB
\\ \\
Notez\ AB = b \Rightarrow DC = 3b. [/tex]
Prelungim laturile laterale, care se intersectează în P. Ducem diagonalele trapezului, care se intersectează în O.
Fie PO ∩ AB = F și PO ∩ DC = M
[tex] \it \Delta OCD \sim \Delta OAB \Rightarrow \dfrac{OM}{OF}=\dfrac{DC}{AB} =\dfrac{3b}{b} \Rightarrow \dfrac{OM}{OF} = 3 \Rightarrow OM = 3OF
\\ \\ \\
Notez\ OF = x \Rightarrow OM=3x [/tex]
Înălțimea trapezului este :
[tex] \it FM = x+3x=4x
\\ \\
\Delta PDC \sim\Delta PAB \Rightarrow \dfrac{PM}{PF} =\dfrac{DC}{AB} =\dfrac{3b}{b} \Rightarrow \dfrac{PM}{PF} =\dfrac{3}{1} \Rightarrow \dfrac{PM-PF}{PF} =\dfrac{3-1}{1} \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow \dfrac{FM}{PF} = \dfrac{2}{1} \Rightarrow \dfrac{4x}{PF} = \dfrac{2}{1} \Rightarrow PF = \dfrac{4x}{2} =2x [/tex]
[tex] \it \mathcal{A}_{PAOB} = \mathcal{A}_{PAB}+ \mathcal{A}_{AOB} =\dfrac{AB\cdot PF}{2} +\dfrac{AB\cdot OF}{2} = \dfrac{b\cdot2x} {2}+\dfrac{bx}{2} =\dfrac{2bx+bx}{2} =
\\ \\ \\
=\dfrac{3bx}{2}
\\ \\ \\
\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{DC+AB}{2}\cdot FM=\dfrac{3b+b}{2}\cdot4x =\dfrac{4b}{2}\cdot4x=8bx [/tex]
[tex] \it\dfrac{\mathcal{A}_{PAOB}}{\mathcal{A}_{ABCD}}=\dfrac{\dfrac{3bx}{2}}{8bx} =\dfrac{3bx}{2\cdot8bx} = \dfrac{3}{16} [/tex]
