Pentru punctul b), intai ar trebui sa vedem cum arata matricea A(n²,n).
[tex] A(n^2,n)=\left(\begin{array}{ccc}n^2&n&1\\1&n^2&n\\n^2&1&n\end{array}\right) [/tex]
Si sa calculam determinantul:
[tex] det(A(n^2,n))\left|\begin{array}{ccc}n^2&n&1\\1&n^2&n\\n^2&1&n\end{array}\right|=Adunam~toate~coloanele~la~prima~coloana(c1+c2+c3)=\left|\begin{array}{ccc}n^2+n+1&n&1\\n^2+n+1&n^2&n\\n^2+n+1&1&n\end{array}\right|=Scoatem~factor~comun~expresia~n^2+n+1=(n^2+n+1)\left|\begin{array}{ccc}1&n&1\\1&n^2&n\\1&1&n\end{array}\right|=(n^2+n+1)(n^3+1+n^2-n^2-n-n)=(n^2+n+1)(n^3-2n+1)=(n^2+n+1)(n^3-n-n+1)=(n^2+n+1)[n(n^2-1)-(n-1)]=(n^2+n+1)[n(n-1)(n+1)-(n-1)]=(n^2+n+1)(n-1)(n^2+n-1) [/tex]
Cum n este numar natural, atunci valorea determinantului este mai mare sau egala cu 0.
Pentru punctul c) folosim proprietatea: B*B⁻¹=I₃.
Sa vedem cum arata aceasta matrice B.
[tex] B=\left(\begin{array}{ccc}x&0&1\\1&x&0\\x&1&0\end{array}\right)*\left(\begin{array}{ccc}x&0&1\\1&x&0\\x&1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x^2+x&1&x\\2x&x^2&1\\x^2+1&x&x\end{array}\right) [/tex]
Stim ca B⁻1=A(x,0).
[tex] B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}x&0&1\\1&x&0\\x&1&0\end{array}\right) [/tex]
Si facem inmultirea dintre B si B⁻¹.
[tex] B*B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}x^2+x&1&x\\2x&x^2&1\\x^2+1&x&x\end{array}\right)*\left(\begin{array}{ccc}x&0&1\\1&x&0\\x&1&0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}x^3+x^2+1+x^2&2x&x^2+x\\2x^2+x^2+x&x^3+1&2x\\x^3+x+x+x&x^2+x&x^2+1\end{array}\right)=[tex] \left(\begin{array}{ccc}x^3+2x^2+1&2x&x^2+x\\3x^2+x&x^3+1&2x\\x^3+3x&x^2+x&x^2+1\end{array}\right) [/tex]
Si acum trebuie sa egalam matricea B*B⁻¹ cu matricea I₃.
[tex] \left(\begin{array}{ccc}x^3+2x^2+1&2x&x^2+x\\3x^2+x&x^3+1&2x\\x^3+3x&x^2+x&x^2+1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) [/tex]
Si acum egalam cele doua matrici "loc pe loc" si avem sistemul format din urmatoarele 9 ecuatii:
{x³+2x²+1=1
{2x=0
{x²+x=0
{3x^2+x=0
{x³+1=1
{2x=0
{x³+3x=0
{x²+x=0
{x²+1=1
Si se observa ca singura solutie a sistemului este x=0 (x=0 fiind singura solutie comuna a celor 9 ecuatii).
