a)
f'(x)=(8x²-lnx)'=(8x²)'-(lnx)'=16x-1/x=(16x²-1)/x=(4x-1)(4x+1)/x, pentru orice x∈(0;∞)
b)
Intai vedem care este ecuatia tangentei la graficul functiei f.
tg: y-y0=m(x-x0)
x0=1
y0=f(x0)=f(1)=8*1²-ln1=8-0=8
m=f'(x0)=f'(1)=(4*1-1)(4*1+1)/1=3*5=15
Deci ecuatia tangentei va fi:
tg: y-8=15(x-1)
tg: y-8=15x-15
tg: y=15x-15+8
tg: y=15x-7
Acum verificam daca A(2/3;3) apartine tangentei.
tg: 3=15*2/3-7
tg: 3=30/3-7
tg: 3=10-7
tg: 3=3
Deci A(2/3;3) apartine tangentei la graficul functiei f.
c)
Studiem mai intai monotonia functiei f.
f'(x)=0
O fractie e 0 cand numaratorul este 0.
(4x-1)(4x+1)=0
4x-1=0 => x=1/4 care este solutie deoarece 1/4∈(0;∞)
4x+1=0 => x=-1/4 care nu este solutie deoarece -1/4∉(0;∞)
Si facem tabelul de semn:
x |0______________1/4_____________∞
f' |----------------------------0+++++++++++++++++
f | descrescatoare f(1/4) crescatoare
Si acum finalizam:
4<7<9 | ^(1/2)
√4<√7<√9
2<√7<3
1/2>1/√7>1/3
1/3<1/√7<1/2
Si cum f este crescatoare pe (1/4;∞), iar {1/3;1/√7;1/2}⊂(1/4;∞), avem:
f(1/3)<f(1/√7)<f(1/2).
