Salut,
Problema este AL 135 din culegerea de probleme pentru admiterea la UPT (Universitatea Politehnica din Timișoara), din 2018.
Aplici teorema lui Cauchy - Hamilton:
A²(x) -- tr(A(x))·A(x) + det(A(x))·I₂ = O₂, unde tr(A(x)) = 2x + 2, este urma matricii A(x), adică suma elementelor de pe diagonala principală, iar det(A(x)) este determinantul matricii A(x).
Ecuația de mai sus devine:
A²(x) -- 2(x + 1)·A(x) + det(A(x))·I₂ = O₂
det(A(x)) = (x + 1)(x + 1) -- 3·x = (x + 1)² -- 3x.
Ecuația devine în continuare:
[tex]A^2(x)-2(x+1)\cdot A(x) + (x+1)^2\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}-3x\cdot I_2=O_2\Rightarrow\\\\\Rightarrow A^2(x)-2(x+1)\cdot A(x) + (x+1)\cdot\begin{pmatrix}x+1 & 0\\0 & x+1\end{pmatrix}-3x\cdot I_2=O_2;\\\\\begin{pmatrix}x+1 & 0\\0 & x+1\end{pmatrix}=A(x)-\begin{pmatrix}0 & x\\3 & 0\end{pmatrix},\ deci\ avem\ c\breve{a}:\\\\A^2(x)-2(x+1)\cdot A(x) + (x+1)\cdot\left[A(x)-\begin{pmatrix}0 & x\\3 & 0\end{pmatrix}\right]-3x\cdot I_2=O_2\Rightarrow\\\\\Rightarrow A(x) - (x+1)\cdot A(x)-(x+1)\cdot\begin{pmatrix}0 & x\\3 & 0\end{pmatrix}-3x\cdot I_2=O_2.[/tex]
Green eyes.
