Vom folosi formula [tex] e^{ln x}[/tex], unde x-ul tau este: [tex] (\frac{x}{x+1})^{x} [/tex], deoarece e-ul este continuu pe [tex](-\infty,\infty)[/tex] deci practic avem formula:
[tex] \lim_{x\to \infty} e^f(x) = e^{\lim_{x\to \infty} f(x)}[/tex]
Si de aici treaba urmeaza in felul urmator:
[tex]\lim_{x \to \infty} e^{ln ((\frac{x}{x+1})^{x})} [/tex]
apoi aplicand proprietatile logaritmului (puterea iese in fata logaritmului) avem:
[tex]\lim_{x \to \infty} e^{xln (\frac{x}{x+1})}[/tex]
apoi intervine formula cu e de mai sus:
[tex]e^{\lim_{x \to \infty} {xln (\frac{x}{x+1})}}[/tex]
In final aplicam regula lui L'Hospital , derivam numaratorul si numitorul iar toata treaba devine -1 :)
aplicam formulele : [tex]\frac { \frac{d}{dx} (f) + (g) - f + \frac{d}{dx} (g)}{(g)^{2}}[/tex] (pentru numarator) si scriem pe x dupa formula: [tex]a^{n} = \frac{1}{x^{n}}[/tex] si apoi numitorul are aceasi formula ca numaratorul si totul devine:
[tex] \lim_{x \to \infty} -\frac{x}{1+ \frac{1}{x} } = -1 [/tex]
apoi ansamblam tot si ne da:
[tex]e^{\lim_{x \to \infty} {xln (\frac{x}{x+1})}} = e^{-1}[/tex]
deci avem [tex]e^{-1}[/tex]
Scuze ca nu am scris toata rezolvarea dar ma iau nervii cu toate formulele pentru Brainly care trebuie scrise ca sa obtin exercitiul ca pe foaie, in schimb sper sa intelegi ideea exercitiului :)
Acel  nu stiu de ce apare acolo ... asa ca evita-l :D
