[tex]
\overline{ab} = (a+b)^2 - (a+b) \Rightarrow 10a+b = (a+b)^2 - (a+b) \Rightarrow
\\ \\
\Rightarrow 9a +a+b = (a+b)^2 - (a+b) \Rightarrow 9a = (a+b)^2 - (a+b) -(a+b)[/tex]
[tex] \Rightarrow 9a = (a+b)^2 - 2(a+b) \Rightarrow 9a = (a+b) (a+b - 2) \ \ \ \ (*)[/tex]
Notăm a+b = s și relația (*) devine:
[tex]\it 9a = s(s-2) \Rightarrow 9a = s^2-2s|_{+1} \Rightarrow 9a +1 = s^2-2s+1 \Rightarrow
\\ \\
\Rightarrow 9a +1 = (s-1)^2 \ \ \ \ \ (**)
\\ \\
9a \in \{9,\ 18,\ 27,\ 36,\ 45,\ 54,\ 63,\ 72,\ 81 \}
\\ \\
9a+1 \in \{10,\ 19,\ 28,\ 37,\ 46,\ 55,\ 64,\ 73,\ 82 \} [/tex]
Conform relației (**), 9a + 1 trebuie să fie pătrat perfect, iar acest lucru are loc doar pentru 9a+1=64.
Înlocuim în relația (**) 9a+1 =64 și obținem:
(s-1)² = 64 ⇒ (s-1)² = 8² ⇒ s-1 = 8 ⇒ s = 9
Deci, valoarea sumei a+b este egală cu 9.
