a)
[tex]f'(x)= \frac{2x(x+1)-x^{2}}{(x+1)^{2}}= \frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}} [/tex]
b)
Rezolvam ecuatia: f'(x)=0.
O fractie este 0 daca numaratorul este 0.
x²+2x=0
x(x+2)=0
x=0
x+2=0 => x=-2
Facem tabel de semn:
x |-inf___________-2______-1_________0____________inf
f' |+++++++++++++0------------|----------------0++++++++++++++
f | crescatoare f(-2) descr. | descrescat. f(0) crescatoare
f(-2)=-4
f(0)=0
Deci conform tabelului de semn, avem:
f crescatoare pe (-inf;-2)∪(0;inf)
f descrescatoare pe (-2;0)\{-1}
c)
f(x)≤-4
Conform tabelului de la pct b), avem ca punctul avand abscisa -2 si ordonata -4 este punct de maxim. Deci:
f(x)≤f(-2)
f(x)≤-4
