Sa zicem ca vrem sa calculam probabilitatea de a nu falimenta (e acelasi lucru cu probabilitatea de a falimenta, dar o scazi din 1).
Fie Pk probabilitatea de a castiga incepand de acum, stiind ca am pornit de la x lei, iar in prezent avem k lei (nu ne intereseaza evenimentele precedente).
Astfel, noi trebuie sa calculam Px, adica probabilitatea de a castiga pornind chiar de la x lei.
Px = ?
Daca facem diagrama arbore, observam ca daca pornim de la x lei, sunt 50% sanse de a ajunge in x+1 lei si a castiga, si sunt 50% sanse de a ajunge in x-1 lei si a continua jocul. Asta se poate scrie astfel:
[tex]P_x=50\% P_{x-1}+50\%P_{x+1}=\frac{1}{2}(P_{x-1}+P_{x+1})[/tex]
Stim ca odata ce am ajuns la x+1 lei jocul este castigat, asadar sansele de castig sunt de 100%:[tex]P_{x+1}=100\%=1\rightarrow P_x=\frac{1}{2}(1+P_{x-1})[/tex]
Cotinuand diagrama, observam ca de la x-1 lei putem ajunge in x-2 si in x, atlfel spus:[tex]P_{x-1}=50\%P_{x-2}+50\%P_x=\frac{1}{2}(P_{x-2}+P_{x})[/tex]
La x-2 si la urmatoarele vom face la fel:[tex]P_{x-2}=\frac{1}{2}(P_{x-3}+P_{x-1})\\\\
P_{x-3}=\frac{1}{2}(P_{x-4}+P_{x-2})\\\\
P_{x-4}=\frac{1}{2}(P_{x-5}+P_{x-3})\\\\
P_{x-5}=\frac{1}{2}(P_{x-6}+P_{x-4})\\
...\\\\[/tex]
Inductiv, se observa ca:[tex]\boxed{P_k=\frac{1}{2}(P_{k-1}+P_{k+1})}[/tex]
Se va calcula pana cand ajungem la 0. Dar stim ca atunci cand ajungem la 0 lei jocul este pierdut, asadar probabilitatea de castig este 0:[tex]P_0=0[/tex]
Acum incepem sa ne uitam la P1, P2, P3..., aplicand formula de mai sus:[tex]P_1=\frac{1}{2}(P_0+P_2)=\frac{1}{2}(0+P_2)=\frac{1}{2}P_2\\\\
P_2=\frac{1}{2}(P_1+P_3)=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}P_2+P_3)\rightarrow \frac{3}{4}P_2 = \frac{1}{2}P_3\rightarrow P_2=\frac{2}{3}P_3\\\\
P_3=\frac{1}{2}(P_2+P_4)=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}P_3+P_4)\rightarrow P_3=\frac{3}{4}P_4[/tex]
Deja se poate observa regula generala:[tex]\boxed{P_{k}=\frac{k}{k+1}P_{k+1}}[/tex]
Desigur ca aceasta trebuie demonstrata prin inductie.
Acum, nu facem decat sa aplicam formula de mai sus pentru Px, adica ce voiam noi sa aflam:[tex]P_x=\frac{x}{x+1}P_{x+1}=\boxed{\frac{x}{x+1}}[/tex]
Aceasta este probabilitatea de a castiga; probabilitatea de a da faliment este:[tex]P_{faliment}=1-P_x=1-\frac{x}{x+1}=\boxed{\frac{1}{x+1}}[/tex]
