1)a)2x²+7x-5=0
Δ=49-4*(-5)*2=49+40=89
x1=(-7+√89)/4
x2=(-7-√89)/4
b)3x²-6x=0
x(3x-6)=0
x1=0
3x-6=0
3x=6
x2=2
c)
4x²-25=0
4x²=25
x²=25/4
x1=5/2
x2=-5/2
2)f(x)=x²-(m-2)x+2m
a) m=? daca 2(x1+x2)-3x1x2=4
Aplicam relatiile lui Viete:
x1+x2=-b/a=-(-(m-2))/1=m-2
x1x2=c/a=2m/1=2m
2(x1+x2)-3x1x2=4
2(m-2)-3*2m=4
2m-4-6m=4
-4m=8
m=-2
b)m=2 => f(x)=x²-(2-2)x+2*2=x²+4
Forma canonica a ecuatiei de gradul doi scrisa la general este:
f(x)=a(x+b/2a)²+(-Δ)/4a
a=1
b=0
c=4
b/2a=0/2=0
Δ=b²-4ac=0-4*1*4=-16
Si atunci forma canonica in cazul de fata va fi:
f(x)=1(x-0)²+(-(-16))/4=x²+16/4=x²+4
c)Daca 2(x+y)=8, atunci x+y=4.
{x+y=4=S
{xy=3=P
Si putem forma ecuatia de gradul II:
t²-St+P=0
t²-4t+3=0
Δ=16-12=4
t1=(4+2)/2=6/2=3
t2=(4-2)/2=2/2=1
Deci avem doua cazuri.
Cazul 1: x=3 si y=1
Cazul 2: x=1 si y=3
(x;y)∈{(3;1);(1;3)}
3)
a)sin75°+cos165°=?
sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=1*√2/4+√3*√2/4=(√6+√2)/4
cos165°=cos(120°+45°)=cos120°cos45°-sin120°sin45°=-1/2*√2/2-√3/2*√2/2=-√2/4-√6/4=(-√2-√6)/4=-(√2+√6)/4
Deci:
sin75°+cos165°=(√2+√6)/4-(√2+√6)/4=0
b)sinx=1/3
sin²x+cos²x=1
cos²x=1-sin²x
cos²x=1-1/9
cos²x=8/9
Cum x∈(0;π/2) cosinusul este pozitiv.
cosx=2√2/3
cos y=2/3
sin²y+cos²y=1
sin²y=1-cos²y
sin²y=1-4/9
sin²y=5/9
Cum y∈(0;π/2) sinusul este pozitiv.
sin y=√5/3
sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx=1/3*2/3+2√2/3*√5/3=2/9+2√10/9=(2+2√10)/9
c)Triunghi: AB=c=30; AC=b=40; BC=a=50
AB²=30²=900
AC²=40²=1600
BC²=50²=2500
Deci BC²=AB²+AC², si cu reciproca teoremei lui Piatgora avem ca triunghiul ABC este dreptunghic cu AC⊥AB.
A)Daca m(<A)=90°, atunci cosA=cos90°=0
B)Aria triunghiului dreptunghic este data de produsul catetelor supra 2. Deci:
A=AB*AC/2=30*40/2=30*20=600 u.m.²
