Ne folosim de relatia de la punctul b)Dam factor comun si avem[tex]A^{3}+A^{2}=A^{2}(A+I_{2})=O_{2}[/tex] Observam ca relatia este adevarata pentru orice exponent n>=2[tex]A^{n}(A+I_{2})=A^{n-2}A^{2}(A+I_{2})=A^{n-2}O_{2}=O_{2}[/tex]
Atunci observam urmatoarele relatii din suma de la punctul c)[tex]9A^{9}+10A^{10}=10A^{9}+10A^{10}-A^{9}=10A^{9}(A+I_{2})-A^{9}=-A^{9}[/tex]
In mod analog[tex]7A^{7}+8A^{8}=-A^{7}[/tex][tex]5A^{5}+6A^{6}=-A^{5}[/tex][tex]3A^{3}+4A^{4}=-A^{3}[/tex]Atunci relatia de la punctul c) devine[tex]A+2A^{2}-A^{3}-A^{5}-A^{7}-A^{9}[/tex](1)
mai putem sa demonstram faptul ca A la putere impara este egal tot cu A[tex]A^{2n+1}=A[/tex] pentru orice n>=1 prin inductie matematicaDin calcul direct, poti sa arati ca[tex]A^{2}=-A[/tex] Folosind aceasta relatie
Pentru n=1 avem[tex]A^{2+1}=A^{3}=A^{2}*A=-A*A=-(A^{2})=-(-A)=A[/tex]
Acum sa presupunem ca exista (k-1)<n pentru care e adevarata relatia[tex]A^{2(k-1)+1}=A^{2k-1}=A[/tex] este adevarata, atunci vrem sa demonstram si pentru k este adevarata[tex]A^{2k+1}=A^{(2k-1)+2}=A^{2k-1}*A^{2}=A*A^{2}=A^{3}=A[/tex]Deci relatia este adevarata si pentru k, atunci prin inductie matematica relatia este demonstrata: A la putere impara este egal cu A
Atunci relatia de calcul (1) devine[tex]A+2A^{2}-A^{3}-A^{5}-A^{7}-A^{9}=A+2A^{2}-A^{3}-A^{5}-A^{7}-A^{9}=A+2A^{2}-A-A-A-A=2A^{2}-3A=2*(-A)-3A=-5A[/tex]
