Cum observăm în figură se formează două triunghiuri isoscele cu baza comună: triunghiul MNP și triunghiul ONP. Triunghiurile fiind isoscele și cu bază comună => MA se suprapune cu segmentul MO, de fapt MA și OA, compun segmentul MO. MA și OA sunt perpendiculare din vârf pe baza triunghiurilor isoscele, deci sunt și bisectoare și mediane și mediatoare => NA≡PA = 7,2 cm.
∡M este împărțit în două unghiuri congruente. ∡M1≡∡M2
Prin trasarea lui MO triunghiul MNP și patrulaterul MNOP au fost împărțite în câte două perechi de triunghiuri dreptunghice:
ΔMNA și ΔMPA
ΔMNO și ΔMPO
Pentru rezolvare vom folosi relațiile trigonometrice din triunghiurile MNA și MNO
În ΔMNA tg∡NMA=[tex] \frac{xNA}{MA} [/tex] (1)
În ΔMNO tg∡NMO=[tex] \frac{ON}{NM} [/tex] (2)
∡NMA este identic cu ∡NMO (3)
ON este raza în cerc (4)
Din relațiile 1, 2, 3, 4 ⇒ [tex] \frac{xNA}{MA} [/tex]=[tex] \frac{raza}{NM} [/tex] ⇒raza=[tex] \frac{NA*NM}{MA} [/tex]⇒raza=[tex] \frac{7,2*12}{MA} [/tex]
Deci trebuie să-l aflăm pe MA
sin∡NMA=[tex] \frac{NA}{NM} = \frac{7,2}{12} = 0,6[/tex] (5)
cos∡NMA=[tex] \frac{MA}{MN} = \frac{MA}{12} [/tex] (6)
[tex] sin^{2} [/tex]∡NMA + [tex] cos^{2} [/tex]∡NMA=1 (7)
Din relațiile 5, 6, 7 ⇒ [tex] \frac{MA^{2} }{144} = \frac{2304}{3600} [/tex] ⇒[tex] MA^{2} = \frac{2304}{25} =92,16[/tex]
MA=[tex] \sqrt{92,16} =9,6[/tex]
raza=[tex] \frac{7,2*12}{MA} [/tex] ⇒ raza=[tex] \frac{86,4}{9,6} [/tex] ⇒ raza= 9 cm
Lungimea cercului este egală cu 2*[tex] \pi [/tex]*r ⇒
Lungimea cercului=2*[tex] \pi [/tex]*9= 18[tex] \pi [/tex]
