Am atsat desenul cu toate congruentele care se deduc (unghiuri, laturi) si cum BA perpendicular pe NC, respectiv ND perpendicular pe BC rezulta ca in ΔBCN, M este intersectia inaltimilor, deci si CM perpendicular pe BN. Notam cu P intersectia dintre CM si BN.
Cum D este mijlocul lui BC inseamna ca DN este mediatoare, deci triunghiul NBC este isoscel, cu NB=NC.
ΔBMD≈ΔBCA (U.U.), deci:
[tex] \frac{MD}{AC} = \frac{BD}{AB} [/tex], adica:
[tex] \frac{3}{AC} = \frac{BD}{AB} [/tex] (1)
ΔNDB≈ΔBAC (U.U.), deci:
[tex] \frac{ND}{AB} = \frac{BD}{AC} [/tex], adica:
[tex] \frac{12}{AB} = \frac{BD}{AC} [/tex] (2)
Din (1) si (2) rezulta ca:
BD*AC=3*AB si
BD*AB=12*AC, de unde, dupa ce scoatem AB din prima si o inlocum in a doua relatie obtinem:
AB=[tex] \frac{BD*AC}{3} [/tex] deci:
BD*[tex] \frac{BD*AC}{3} [/tex]=12*AC si dupa ce simplificam prin AC obtinem:
[tex] BD^{2} [/tex]=36, deci
BD=6 cm, deci BC=2BD=12 cm.
