Se subintelege ca lucram cu numere complexe: x ∈ C
Teoria spune ca daca:
[tex]z=r(cos\varphi+isin\varphi)[/tex]
Atunci, radacinile de ordin n ale lui z(adica solutiile ecuatiei x^n = z) sunt:
[tex]x_k= \sqrt[n]{r} (cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+isin\frac{\varphi+2k\pi}{n})\ ,\ \ k=\overline{0,...,(n-1)}[/tex]
Unde r este modulul lui z, iar φ este unghiul pe care il face vectorul care reprezinta imaginea geometrica a lui z, cu axa Ox.
Noi trebuie sa aflam mai intai r si φ.
In cazul nostru:
[tex]z=1+i\sqrt{3}\\
r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\\\
z=r(cos\varphi+isin\varphi)=2(cos\varphi+isin\varphi)\\\\
1+i\sqrt{3}=2cos\varphi+i2sin\varphi[/tex]
Ca cele doua numere complexe sa fie egale, partea reala a primului numar trebuie sa fie egala cu partea reala a celui de-al doilea, iar partea imaginara cu partea imaginara:
[tex]\left\{ \begin{array}{ll} 1=2cos\varphi\\\\ \sqrt{3}=2sin\varphi \end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} cos\varphi=\frac{1}{2}\\\\ sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \rightarrow \varphi=\frac{\pi}{3}[/tex]
Nu avem nevoie decat de o singura valoare pentru φ, asa ca am luat-o pe cea mai simpla.
Asadar:
[tex]x^5=2(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})[/tex]
[tex]x_k=\sqrt[5]{2}(cos\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{5}+isin\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{5})\\\\
x_k=\sqrt[5]{2}(cos\frac{(6k+1)\pi}{15}+isin\frac{(6k+1)\pi}{15})[/tex]
Acum, tot ce mai ai de facut este sa-i dai valori lui k de la 0 la 4, si alea sunt radacinile.
