x1 si x2 radacini ale ecuatiei x^2+2√2x+1=0
avem ca (Viete) x1+x2= -b/a= -2√2
x1*x2=c/a= 1
-dar, fie a=arctg x1
b=arctg x2
rezulta ca x1=tga si x2=tgb
problema cere suma arctg x1 + arctg x2=a+b si nu aflarea individuala!!! a acestor valori
- puterm sa aplicam o functie trigonometrica convenabila( de ex. tg), ca apoi sa obtin suma dorita
tg(a+b)=(tga+tgb)/(1-tga*tgb)=(x1+x2)/(1-x1*x2)= -2√2/ (1-1) care tinde spre - infinit
deci a+b= -pi/2
arctg x1+arctg x2= -pi/2
(Exista si formule pentru suma arctgx+artgy
arctg x + arctg y = arctg (x + y )/(1 − xy) , daca xy < 1;
= π + arctg (x + y )/(1 − xy) , daca x > 0 si xy > 1;
= −π + arctg (x + y )/(1 − xy) , daca x < 0 si xy > 1).
Totusi am fortat putin rezolvarea, problema fiind un caz cu totul particular, deoarece arctg= functie inversabila cu multimea valorilor in intervalul deschis (-pi/2, pi/2).
Am dezvoltat rezolvarea sub acest model, deoarece marea majoritate a exercitiilor cu functii trigonometrice inverse (arcsin, arctg...) se rezolva aducand problema la functiile sin, tg, cos, ctg, cu care se lucreaxza mult mai usor, iar daca ajungem la rezolvarea de ecuatii, se aleg doar solutiile ce fac parte din domeniile i codomeniile de definitie.
arctg x1 * arctg x2
-putem aplica
arctg x + arctg y = arctg (x + y )/(1 − xy) , daca xy < 1; Bineinteles ca se puteau aplica si la primul punct, dar de dragul diversitatii de solutii am preferat rezolvari diferite
x1= -√2+1
x2= -√2-1
arctg(-√2+1)=(arctg (-√2) + arctg 1)*(1-(-√2)*1)=(arctg (-√2) + pi/4)*(1+√2)
arctg(-√2-1)=(arctg (-√2) - arctg 1)*(1+(-√2)*(-1))=(arctg (-√2) - pi/4)*(1+√2)
deci arctg(-√2+1)*arctg(-√2-1)=2(1+√2)*arctg (-√2)
Sper sa nu se fi strecurat unele greseli de calcul. Conteaza principiile de rezolvare.
