prima
a) ducem C'M⊥AC, C'M=OO'=inaltime trunghi
AC=6√2, OC=AC/2=3√2 cm
A'C'=4√2, O'C'=A'C'/2=2√2 cm
OM=O'C', MC=OC - O'C'=3√2 - 2√2
MC=√2 cm, pitagora in C'MC
C'M=√(C'C^2-MC^2)=√(11 - 2)
OO'=C'M=3 cm
b)
ducem PR⊥NO, PR= inaltime trunchi
ducem PN⊥AD , PN = apotema trunchi=inaltime trapez fata laterala
ON= apotema bazei mari,
ON=AB/2=3 cm
O'P= apotema bazei mici , O'P=4/2=2 cm
NR=ON - O'P=3-2=1
pitagora in PNR, PN=√(NR^2+PR^2)
PN=√10 cm
aria laterala
Al=4 x (AB+A'B')PN/2 inlocuim cu valorile calculate
Al=20√10 cm2
Al^2=4000
63^2=3969
64^2=4096 ⇒ 3969<4000<4096 ⇒ 63<Al=20√10 <64
c)
VO'/VO=A'B'/AB=2/3 (vezi rap. asemanare in spatiu)
VO'/OO'=2 (vezi rapoarte derivate)
VO'=6 cm
volumul piramidei
V=36 x 6/3=72 cm3 (vezi formula volum piramida)
a doua
a) triunghiurile dreptunghice AMN si ABC sunt semenea
AN/AB=AM/AC
AN=AM x AB/AC= 4 x 9/12
AN=3 cm
b) aria ABC=AB x AC/2=54 cm2
aria AMN=AM x AN/2=6 cm2
aria BCNM=54 - 6=48 cm2
c)
tr. AMN este dreptunghic in A, AP este mediana ⇒ AP=MP=PN
rezulta ca APM si APN sunt isoscele
∡MAP=∡AMP=∡C=90-∡B rezulta ca
∡ARB=180 - ∡B - ∡MAP =180 - ∡B - 90+∡B=90°
rezulta AR⊥BC ⇒ AP⊥BC, R=AP∩BC, R∈BC
nu am facut alta figura. marcheaza tu pe R pe figura din carte
a treia
a) Al=48π=2πr x AA'
48π=12πr
r=4 cm, r este raza bazei
V=πr^2 x AA'=96π cm3
b) AA'B'B este dreptunghi, are diagonalele congruente si se injumatatesc
PO este mediana in tr. isosel PAB, PO este si inaltime
PO⊥AB (1)
PO' este mediana in tr. isoscel PA'B', PO' este si inaltime
PO'⊥A'B' (2)
AB║A'B' si cu relatiile (1) si (2)rezulta O,P,O' sunt coliniare
c)
daca R e mijlocul arcului AB inseamna ca RO⊥AB, RO= raza bazei
se observa ca O'R=O'B=2√13 (vezi pitagora in O'OB sau O'OR)
tr. RO'B este isoscel , ducem O'M⊥RB, O'M este si mediana,
cu pitagora in ROB, RB=2√2 cm
RM=MB=RB/2=√2 cm
cu pitagora in O'MB
O'M=5√2 cm (calculeaza si tu)
