Din [tex] \frac{AE}{ED} = \frac{3}{5} [/tex] rezulta, folosind proprietatile rapoartelor egale (proportii):
[tex] \frac{AE}{AE+ED} = \frac{3}{3+5} [/tex], adica:
[tex] \frac{AE}{AD} = \frac{3}{8} [/tex] (rel 1), respectiv:
[tex] \frac{ED}{AE} = \frac{5}{3} [/tex], adica:
[tex] \frac{DE}{AE+ED} = \frac{5}{3+5} [/tex], deci:
[tex] \frac{DE}{AD} = \frac{5}{8} [/tex] (rel 2)
Din EQ || AB rezulta triunghiul DEQ asemenea cu triunghiul DAB, deci:
[tex] \frac{DE}{DA} = \frac{EQ}{AB} [/tex] si folosind (rel 2) rezulta:
[tex] \frac{5}{8} = \frac{EQ}{8} [/tex], de unde
EQ=5 cm
Analog, din PF || AB rezulta triunghiul CPF asemenea cu triunghiul CAB, deci:
[tex] \frac{CF}{CB} = \frac{PF}{AB} [/tex], dar
[tex] \frac{CF}{CB} = \frac{DE}{DA} = \frac{5}{8} [/tex] din (rel 2), deci avem:
[tex] \frac{5}{8} = \frac{PF}{8} [/tex], de unde:
PF=5 cm
Dar EP || CD si QF || CD determina rapoartele de asemanare :
[tex] \frac{AE}{AD} = \frac{EP}{CD} = \frac{3}{8} [/tex], respectiv:
[tex] \frac{BF}{BC} = \frac{QF}{CD} = \frac{3}{8} [/tex], deci EP=QF si
[tex] \frac{EP}{4} = \frac{3}{8} [/tex], de unde
EP=[tex] \frac{3}{2} [/tex] = 1,5 cm
PQ=EQ-EP=5-1,5=3,5 cm
