Problema 8. Ofer 6p si coroana. Este f urgent.

Desenăm paralelipipedul ABCDA'B'C'D' și notăm dimensiunile:

AB = a, BC = b, CC' = c.

Ducem diagonalele AC, CD' și AD'.

Cu teorema lui Pitagora în triunghiurile ABC, CDD', ADD' rezultă :

a² + b² = 20² = 400 (1)

a² + c² = 16·34 = 544 (2)

c² + b² = 16·41 = 656 (3)

(1), (2), (3) ⇒ 2(a² + b² + c²) = 16 000 |:2 ⇒ a² + b² + c² = 800 ⇒

a² + b² + c² = 400·2 ⇒ d² = 400·2 ⇒ d = 20√2 cm

Tcostel Tcostel · Answer 2 · 2018-03-11T08:11:45+02:00

[tex]\displaystyle\\ \text{Notatii:}\\ a,~b, ~c = \text{dimensiunile paralelipitedului}\\ d_1,~d_2,~d_3=\text{diagonalele {\bf fetelor} paralelipipedului}\\ D = \text{diagonala paralelipipedului (diagonala {\bf mare})}\\\\ \text{Rezolvare:}\\\\ D= \sqrt{a^2 + b^2+c^2}\\\\ d_1 = \sqrt{a^2+b^2}= 20 \\ d_2 = \sqrt{b^2+c^2}= 4 \sqrt{34}\\ d_3 = \sqrt{c^2+a^2}= 4 \sqrt{41}\\\\ [/tex]

[tex]\displaystyle\\ a^2+b^2 = 20^2 = 400\\\\ b^2+c^2= \Big(4\sqrt{34}\Big)^2=16\times 34=544\\\\ c^2+a^2= \Big(4\sqrt{41}\Big)^2=16\times41 = 656\\ ----------------- \text{Adunam:}\\ 2a^2 +2b^2+sc^2 = 400+544+656\\\\ 2a^2 +2b^2+sc^2 = 400+544+656 = 1600~~~\Big|:2 \\\\ a^2+b^2+c^2 = 800\\\\ D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}= \sqrt{800}= \sqrt{400\times 2}= \boxed{\bf20\sqrt{2}~cm} [/tex]