[tex]a_3+a_4=24[/tex]
[tex]S_{3n}-9S_n=0[/tex]
Avem urmatoarele formule:
[tex]a_n=a_1+(n-1)r\\
S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}[/tex]
[tex]a_3+a_4=(a_1+2r)+(a_1+3r)=2a_1+5r=24[/tex]
[tex]S_{3n}=\frac{(a_1+a_{3n})\cdot3n}{2}=\frac{3n(a_1+a_1+(3n-1)r)}{2}\\
9S_n=9\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{9n(a_1+a_1+(n-1)r)}{2}\\\\
S_{3n}-9S_n=\frac{3n(2a_1+(3n-1)r)}{2}-\frac{9n(2a_1+(n-1)r)}{2}=\\\\
=\frac{3n(2a_1+(3n-1)r-6a_1-3(n-1)r)}{2}=\frac{3n(-4a_1+2r)}{2}=\boxed{3n(r-2a_1)=0}[/tex]
Produsul a doua expresii este 0. Asadar, una din ele trebuie sa fie 0, iar cealalta poate lua orice valori.
I. n = 0, atunci r - 2a₁ pot lua orice valori, si ne ramane ecuatia:
2a₁ + 5r = 24 ==> r = (24 - 2a₁) / 5
Nu putem afla valorile lui r si a₁ deoarece sunt o infinitate. Dar putem spune ca ratia progresiei aritmetice trebuie sa fie r = (24 - 2a₁) / 5
II. r - 2a₁ = 0, atunci n poate lua orice valori naturale.
Avem urmatorul sistem:
[tex] \left \{ {{r - 2a_1 = 0} \atop {2a_1+5r=24} \right. \rightarrow \left \{ {{r=2a_1} \atop {2a_1+5r=24}} \right. \rightarrow \left \{ {{r=2a_1} \atop {2a_1+10a_1=24}} \right. \rightarrow a_1=2\rightarrow r=4[/tex]
