Sa luam o functie de gradul doi de forma generala [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Graficul functiei de gradul 2 este o parabola, iar in functie de semnul coeficientului dominant, adica al lui a, parabola respectiva va avea varful "in sus", pentru a negativ, sau "in jos", pentru a pozitiv. Coordonatele varfului parabolei vor fi [tex]V(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})[/tex], unde primul raport reprezinta valoarea lui x pentru care functia ia valoarea maxima sau minima (daca este maxima sau minima depinde tot de semnul lui a, deoarece daca varful este in sus, adica a negativ, functia va avea un punct de maxim, iar daca varful este in jos, adica a pozitiv, functia va avea un punct de minim), iar cea de-a doua reprezinta valoarea maxima sau minima pe care o ia functia. Asta se poate justifica in felul urmator, rescriind putin forma generala a functiei:
[tex]f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} -\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})[/tex]
Am facut asta pentru a forma urmatorul patrat:
[tex]f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})[/tex]
[tex]f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}[/tex]
Din forma asta a functiei se poate vedea ca daca avem [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex], atunci [tex]f(x)=-\frac{\Delta}{4a}[/tex], ceea ce explica de ce acesta este valoarea extrema a functiei, pentru ca daca a este pozitiv, cum patratul pe care l-am format este mereu mai mare sau egal ca zero, produsul cu a nu ii schimba semnul, deci pentru orice alta valoare a lui x, functia va lua o valoare mai mare decat aceasta, deci reprezinta minimul, iar daca a este negativ, produsul schimba semnul patratului, deci va fi mai mic sau egal ca zero, iar pentru orice alta valoare a lui x, functia va lua o valoare mai mica decat aceasta, deci este maximul functiei.
