Se da:
Fie trapezul ABCD cu AB||CD si O punctul de
intersectie al diagonalelor.
Se cere sa aratam ca:
a) Aria ΔABD=Aria ΔABC
b) Aria ΔACD=Aria ΔBCD
c) Aria ΔAOD=Aria ΔBOC
Rezolvare:
Vezi desenul atasat.
Constructii auxiliare:
In trapez am dus inaltimile BF = AG = CE = DH
a)
In triunghiurile ΔABD si ΔABC avem:
AB = baza comuna
Inaltimile corespunzatoare DH si CE sunt egale.
Rezulta ca ariilecelor 2 triunghiuri sunt egale.
⇒ Aria ΔABD = Aria ΔABC
b)
In triunghiurile ΔACD si ΔBCD avem:
CD = baza comuna
Inaltimile corespunzatoare AG si BF sunt egale.
Inaltimile sunt in exteriorul triunghiurilor deoarece triunghiurile sunt otuzunghice.
Rezulta ca ariilecelor 2 triunghiuri sunt egale.
⇒ Aria ΔACD=Aria ΔBCD
c)
La subpunctul a) am aratat ca Aria ΔABD = Aria ΔABC.
Triunghiul ΔAOB este inclus si in ΔABD si in ΔABC.
ΔAOB ⊂ ΔABD si ΔAOB ⊂ ΔABC
Aria ΔAOD = Aria ΔABD - Aria ΔABO
Aria ΔBOC = Aria ΔABC - Aria ΔABO
Dar Aria ΔABD = Aria ΔABC
⇒ Aria ΔAOD=Aria ΔBOC
