Putem observa ca pentru calculul limitei, ne intereseaza doar exponentialele [tex]e^{nx}[/tex] si [tex]e^{-nx}[/tex], intrucat doar acolo este implicat n. Pentru cazul in care x este negativ, prima tinde la zero (deoarece exponentul sau va fi negativ), iar cea de-a doua la infinit (deoarece exponentul sau va fi pozitiv), ceea ce inseamna ca in acest caz vom da factor comun si vom simplifica prin [tex]e^{-nx}[/tex] pentru a scapa de infinit, iar cand x este pozitiv, prima tinde la infinit, iar cea de-a doua la zero, deci vom da factor comun si vom simplifica prin [tex]e^{nx}[/tex] pentru a scapa de infinit. Spre exemplu, pentru cazul in care avem [tex]x>0[/tex]:
[tex]f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1\mid e^{nx}+a(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}} \\ =lim_{n\to\infty}\frac{e^{nx}(\mid x-1 \mid +a(x+1)^2e^{-2nx})}{e^{nx}(1+e^{-2nx})}[/tex]
Putem observa ca se simplifica cele doua exponentiale si ramanem cu:[tex]f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1 \mid + a(x+1)^2e^{-2nx}}{1+e^{-2nx}}[/tex]
Cum exponentiala ramasa va tinde la zero, calculam limita si ne ramane functia:[tex]f(x)=\frac{\mid x-1 \mid + a(x+1)^2 * 0}{1+0}=\mid x-1 \mid[/tex]
Punctul urmator se rezolva asemanator, dar dand factor comun cealalta exponentiala, intrucat aceea va tinde la infinit in cazul urmator:
[tex]f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1 \mid e^{nx} + a(x+1)^2 e^{-nx}}{e^{nx} + e^{-nx}} \\
=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{-nx}(\mid x-1 \mid e^{2nx} + a(x+1)^2)}{e^{-nx}(e^{2nx} + 1)}[/tex]
Prin simplificare ne ramane:
[tex]f(x)=lim_{n\to\infty}\frac{\mid x-1 \mid e^{2nx} + a(x+1)^2}{e^{2nx} + 1}[/tex]
Cum exponentiala ramasa tinde la zero, calculam limita si ne ramane:
[tex]f(x) = \frac{\mid x-1 \mid * 0 + a(x+1)^2}{0 + 1}=a(x+1)^2[/tex]
In concluzie, avem:
1) pentru [tex]x\ \textless \ 0[/tex] [tex]f(x) = a(x+1)^2[/tex]
2) pentru [tex]x\ \textgreater \ 0 [/tex] [tex]f(x)=\mid x-1 \mid[/tex]
